Тъждествени изрази. Формули за съкратено умножение от втора и от трета степен.

Учебникът "Елементите" ("Начала") е един от най-добрите учебници, създавани някога. Написан е от древногръцкия учен Евклид (IV - III в. пр. н. е.). Съхранявал се е в Александрийската библиотека в Египет. Древногръцкия учен Евклид е доказал едно от най-известните тъждества в алгебрата, като доказва теорема, чиято геометрическа интерпретация  виждаме.

Задачата е следната :

Разглеждаме квадрат със страна   $a\ +\ b$ и с лице - $\left(a\ +\ b\right)^2$ . В двата ъгъла на квадрата  построяваме   квадрати съответно със страни $a$  и  $b$ и лица съответно равни на $a^2$  и $b^2$ .  По този начин дадения квадрат e разделeн на четири части - два квадрата с площ $a^2$ и $b^2$    и два правоъгълника , всеки с площ $a.b$ .

Да сe пресметне лицето на квадрата като сбор от лицата на четирите фигури.

Получава се, че $A\ =\ a^{2\ }+\ 2ab\ +b^2$ , но  $A\ =\ \left(a\ +\ b\right)^2$ (Тук лицето е означено с $A$ ).

Следователно   равенството $\left(a\ +b\right)^2\ =\ a^2\ +\ 2ab\ \ +b^2$ е тъждество .

Сбор или разлика на квадрат: $\left(a\ \pm b\right)^2\ =\ a^2\ \pm2ab\ +\ b^2$

Примери:

$\left(a\ +\ 3\right)^2\ =\ a^2\ +\ 2.a.3\ +\ 3^2\ =\ a^{2\ }\ +\ 6a\ +\ 9$

$\left(3x\ -\ 7\right)^2\ =\ \left(3x\right)^2\ -\ 2.3x.7\ +7^2\ =\ 9x^{2\ }\ -\ 42x\ +\ 49$

$\left(\frac{1}{2}x\ -\ \frac{1}{3}y\right)^2\ =\ \left(\frac{1}{2}x\right)^2\ -2.\frac{1}{2}x.\frac{1}{3}y\ +\left(\frac{1}{3}y\right)^2\ =\frac{x^2}{4}\ -\frac{xy}{3}\ +\frac{y^2}{9}$

Посочете многочлена, който е тъждествено равен на дадения израз.

При умножаване на сбор и разлика на два израза се използва формулата $\left(a+b\right)\left(a-b\right)\ =\ a^2\ -\ b^2$ :

Примери:

$\left(2+x\right)\left(2-x\right)\ =\ 2^2\ -\ x^2\ =\ 4\ -\ x^2$

$\left(3a\ +\ 2\right)\left(3a\ -\ 2\right)=\ \left(3a\right)^2\ -\ 2^2$ $=\ 9a^2\ -\ 4$

$47\ .\ 53\ =\ \left(50\ -\ 3\right)\left(50\ -\ 3\right)\ =\ 50^2\ -\ 3^2$ $=\ 2500\ -\ 9\ =\ 2491$

Посочете многочлените, които са тъждествено равни на дадения израз

Сбор и разлика, повдигнати на трета степен (сбор и разлика на куб) се извършва по формулите:

$\left(a\ +b\right)^3\ =\ a^3\ +\ 3a^2b\ +3ab^2\ +b^3$ и $\left(a\ -\ b\right)^3\ =a^{3\ }\ -\ 3a^2b\ +\ 3ab^2\ -b^3$

Примери:

$\left(a\ +\ 2b\right)^3\ =\ a^{3\ }\ +\ 3a^2\left(2b\right)\ +\ 3a\left(2b\right)^2\ +\ \left(2b\right)^3\$ $=\ a^3\ +\ 6a^2b\ +\ 12ab^2\ +\ 8b^3$

$\left(3\ -\ \frac{2}{3}b\right)^3\ =\ 3^3\ -\ 3.3^2.\frac{2}{3}b\ +3.3.\left(\frac{2}{3}b\right)^2\ -\left(\frac{2}{3}b\right)^3=$ $27\ -\ 18b\ +\ 4b^{2\ }\ -\frac{8}{27}b^3$

$49^3\ =\ \left(50\ -\ 1\right)^3\ =\ 50^3\ -\ 3\ .\ 50^2\ .\ 1\ +\ 3\ .\ 50\ .\ 1^2\ -\ 1^3\ =$ $125\ 000\ -\ 7500+150\ -\ 1\ =\ 117\ 649$

Посочете многочлените, които са тъждествено равни на дадения израз

Умножение на двучлен с тричлен, който е непълен квадрат на двучлен:

$\left(a\ +\ b\right)\left(a^2\ -\ ab\ +\ b^2\right)\ =\ a^3\ +\ b^3$ и $\left(a\ -\ b\right)\left(a^{2\ }\ +\ ab\ +\ b^2\right)\ =\ a^3\ -\ b^3$

Примери:

$\left(a\ -2\right)\ \left(a^2\ +\ 2a\ +\ 4\right)\ =\ a^3\ -\ 8\$

$\left(2x\ +\ c\right)\left(4x^{2\ }\ -\ 2cx\ +\ c^2\right)\ =\ 8x^3\ +\ c^3$

Посочете многочлена, който е тъждествено равен на дадения израз.